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R: Rechenmethoden (WiSe 2014/2015) – Skript

Vorlesung

Hinweise zur Benutzung des Skripts (und Tipps zum Öffnen der pdf- und jnt-Dateien) finden Sie hier.
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Vollständiger Stoffplan

Untenstehendes Inhaltsverzeichnis als .pdf-Datei, chronologisch oder antichronologisch sortiert.

 

 


Nr. Datum vor Skript
(Seite)
Text
(Abschnitt)
Thema
33 29.01.15 pdf Zusammenfassungen: Eine Zusammenstellung aller Zusammenfassungen der Vorlesungen 1-30.
32 29.01.15 pdf Bsp1a-5e Beispiele: Fourier-Reihe; Iteratives Lösen einer Gleichung mittels Reihenentwicklung; Lineare inhomogene Differentialgleichung, Variation der Konstanten zur Bestimmung der partikulären Lösung; Satz v. Stokes: Fluss eines Magnetfelds durch verschiedene Flächen (illustriert Linien- und Flächenintegrale mit krummlinigen Koordinaten)
31 26.01.15 pdf C7.6Bsp.a-p

C6.5
C8.3
Beispiel: Überdämpfter harmonischer Oszillator mit periodischem Antrieb -- illustriert lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, homogene & partikuläre Lösungen; Fourier-Integrale; Greensche Funktionen; delta-Funktion; komplexe Wegintegration
30 22.01.15 pdf C8.2j-m
C8.3a-k
ZC8.3a-b
C8.2
C8.3
Komplexe Analysis II: (kommt noch nicht im Altland-Delft-Text vor) Wegvervormung; Cauchy's Integralformel; Taylor-Reihen, Laurent-Reihen; Residuensatz, Residuum-Formel, Beispiele: Gewicht einer Lorentz-Kurve, Fourier-Transformation einer Lorentz-Kurve.
29 19.01.15 pdf C8.1a-h
C8.2a-i
ZC8.1-2
C8.1
C8.2
Komplexe Analysis I: (kommt noch nicht im Altland-Delft-Text vor) komplexe Differenzierbarkeit, Def: analytische Funktion; Cauchy-Riemann-Gleichungen; komplexe Funktion definiert konforme Abbildung; komplexes Wegintegral; Beispiel: Kreisintegral von z^n; Wegunabhängigkeit; Satz von Cauchy
28 15.01.15 pdf V4.3a-m
ZV4.3b
V4.3 Rotation: geometrische Deutung als Zirkulation pro gerichtetem Flächenelement; Satz v. Stokes, Rotation in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen; Beispiel: Magnetfeld eines unendlich langen Leiters, ausserhalb und innerhalb, Flussberechnung durch verschiedene Oberflächen.
27 12.01.15 pdf V4.2a-t
ZV4.2b
V4.2 Divergenz: geometrische Deutung als Ausfluss pro Volumenelement; Satz von Gauss. Beispiele: Volumenberechnung durch Flussintegral; Kontinuitätsgleichung; Gauss-Gesetz; quellfreie Felder haben Fluss 0, Magnetfeldfluss durch Pyramide; Gradient und Divergenz in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen.
26 08.01.15 pdf C4.6a-j
C4.7a-c
ZC4.6-7
C4.6
V4.2
Oberflächen- und Flussintegrale: Motivation, Parametrisierung von Flächen; gerichtetes Flächenelement; Flächenintegral; Beispiele: Kugel, Gebirge, Rotationsfläche; Fluss durch Fläche = Flussintegral; Beispiele: E-Fluss von Punktladung durch Kugeloberfläche; B-Fluss durch Zylinder
25 22.12.14 pdf C6.4a-c
C6.6a-m
ZC6.4a-b
C6.4 Fourier-Analysis IV: Konzeptionelle Grundlage - Basis im Funktionenraum. Anwendungen: Frequenzkamm von Prof. Hänsch (LMU) [Nobelpreis 2005] (kommt noch nicht im Altland-Delft-Text vor); Radon-Transformation bei Röntgen-Tomographie
24 18.12.14 pdf C7.5a-d
C7.6a-g
C7.7a-h
ZC7.IIIa-b
C7.5
C7.6
C7.7
Differentialgleichungen III: DG 1. Ordnung - allgemeine Eigenschaften: Lipshitz-Stetigkeit, Trajektorien, Fluß, autonome DG in 2-dim: Berechnung des Flusses der DG, Energie-Erhaltung via Newton 2, Berechnung von Feldlinien, Fixpunkte, Stabilitätsanalyse, kleine Schwingungen
23 15.12.14 pdf C6.3a-l
C6.5a-d
ZC6.3a-c
C6.3
C6.5
Fourier-Analysis III: Multi-dimensionale Fourier-Reihen; Fourier-Transformation (L = unendlich); Beispiele: Exponential - Lorenz, Gauß - Gauß; Parseval, Plancherel, Faltungstheorem, Ableitungen. Green'sche Funktion, Anwendung: harmonischer Oszillator mit Antrieb.
22 11.12.14 pdf C6.1l-w
ZC6.1b
C6.1 Fourier-Analysis II: Parseval-Identität; Fourier-Entwicklung periodischer Funktionen; periodischer Kamm v. scharfen Peaks; Fourier-Gegensätzlichkeit, Faltungstheorem, Fourier-Reihe einer Ableitung, Cosinus- und Sinus-Reihen; Fourier-Konventionen für Transformation Zeit <-> Frequenz (einige Teile dieses Stoffes kommen noch nicht im Altland-Delft-Text vor)
21 08.12.14 pdf C6.2a-h
C6.1a-k
ZC6.2,ZC6.1a
C6.2
C6.1
Fourier-Analysis I: Dirac delta-Funktion: Definition, Eigenschaften; Fourier-Reihen: Definition, Eigenschaften d. Fourier-Moden; Beispiel: Sägezahn; Konsistenz-Check; Reihendarstellung der delta-Funktion
20 04.12.14 pdf C7.3q-w
C7.4a-l
ZC7.IIa-b
C7.3
C7.4
Differentialgleichungen II: Beispiel: gedämpfter harmonischer Oszillator. Inhomogene DG 1. Ordnung: partikuläre Lösung, Variation der Konstanten. Beispiele: Beispiel: RC-Kreis, getriebener harmonischer Oszillator.
19 01.12.14 pdf C7.1a-b
C7.2a-b
C7.3a'-C7.3p''
ZC7.Ia-b
C7.1
C7.2
C7.3
Gewöhnliche Differentialgleichungen I: Definition, Beispiel: radioaktiver Zerfall; Typologie v. DG. separable DG. Trennung der Variablen. Homogene lineare DG: Rückführung auf System 1. Ordnung, Superpositionsprinzip. Konstante Koeff: Exponentialansatz, charakteristische Gleichungen, Eigenwertproblem. Ich habe Folien C7.3p und ZC7-Ib aktualisiert, und zwei neue Folien eingefügt, C7.3p' und C7.3p'', die erklären, wie man ein System von linearen Differentialgleichungen mit konstante Koeffizienten mittels einer Transformation in die Eigenbasis entkoppelt. (Das hatte ich gegen Ende von Vorlesung 20 kurz angesprochen. Es ist auch relevant für Beispielaufgabe 4 und Hausaufgabe 6 von Blatt 9.)
19 01.12.14 C7 C7 C7: Differentialgleichungen: Für Kapitel C7 sind die Stoffgliederungen vom Skript und dem Altland-Delft-Text nicht eins-zu-eins aufeinander abgestimmt.
18 27.11.14 pdf C5.2a-g
C5.3a-h
ZC5.2,3
C5.2
C5.3
Stöhrungstheorie: (kommt noch nicht im Altland-Delft-Text vor) Asymptotische Entwicklungen, Landau O-Symbol, Verkettung von Reihen, Berechnung einer Umkehrfunktion, Iteratives Lösen von Gleichungen; Extrema unter Nebenbedingungen: Lagrange-Multiplikatoren. Anwendungen: Volumenoptimierung eines Zylinders, Entropiemaximierung bei fester Energie, Boltzmann-Faktor
17 24.11.14 pdf C5.1a-r
ZC5.1
C5.1 Taylorreihen: Satz von Taylor, 1/(1-x), ln(1+x), Exp(x), Sin(x), Cos(x), Euler-deMoivre-Identität, Euler-Identität; Satz von Taylor für Funktion von n Variablen, Anwendung: Potential und elektrisches Feld eines Punktdipols
16 20.11.14 pdf Optionaler Stoff (von T0-2011): Matrizen VI: Anwendungen von Diagonalisierung: Hauptachsentransformation, verallgemeinertes Eigenwertproblem, simultan diagonalisierbare Matrizen; Starrer Körper: Drehimpuls, rotationskinetische Energie, Trägheitstensor, Trägheitsmomente
16 20.11.14 pdf L5.7a-m
L7.2a-h
ZL5.7a-b,ZL7.2
L5.7
L7.2
Matrizen V: Symmetrische, Hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen: reelles und komplexes Skalarprodukt, Invarianz der Skalarprodukte, Eigenschaften. Diagonalisierung von symm. und Hermiteschen Matrizen: Eigenwerte reell, nicht-entartete Eigenvektoren orthogonal, Ähnlichkeitstransformation ist unitär bzw. orthogonal
15 17.11.14 pdf L7.1a-o
ZL7.1a
L7.1
L7.2
Matrizen IV: Eigenwerte, Eigenvektoren, charakteristisches Polynom, Diagonalisierung einer Matrix.
14 13.11.14 pdf

L5.4k-m
L6a-p
ZL6a-b
L5.4
L6
Matrizen III: Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix. Determinanten - Definition, Eigenschaften.
13 10.11.14 pdf L5.4a-j
L5.5a-h
ZL5c
L5.4
L5.5
L5.6
Matrizen II: Inverse einer Matrix, Lösung v. linearem Gleichungsystem mit Gauss-Algorithmus, Basistransformation: wie transformieren Vektoren und linearen Abbildungen
12 06.11.14 pdf L5a-L5p
ZL5a-b
L5.1 Matrizen I: Lineare Abbildungen, Matrizen, Verkettung v. linearen Abbildungen, Matrixmultiplikation
11 03.11.14 pdf C4h-C4q
ZC4b
C4.3-5 Integration mit krummlinigen Koordinaten: 2D Flächenintegral mit Polarkoordinaten, Kreisfläche; 3D Volumenintegral; Volumen, Trägheitsmoment von Zylinder und Kugel; allgemeine Koordinatentransformationen in 2D, 3D, nD; Jakobi-Determinante, Funktionaldeterminante
10 30.10.14 pdf C4a-C4g
ZC4a
C4.1-2 Mehrdimensionale Integration: Satz von Fubini, variable Integrationsgrenzen, Anwendung: Kreisfläche, Trägheitsmoment von homogenem Quader
9 27.10.14 pdf V5a-V5m
ZV5a-b
V5 Krummlinige Koordinaten: Polarkoordinaten in der Ebene, Koordinatenlinien, lokale Basis; Kurvengeschwindigkeit und Beschleunigung; Linienintegral in Polarkoordinaten; Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten
8 23.10.14 pdf C3c-C3e
V4.1a-j
V4.2a-c
V4.3a-b
ZV4.1-3
C3
V4.1
V4.2
V4.3
Kettenregel für partielle Ableitungen;
Gradientenfeld: Wegunabhängigkeit für Linienintegral eines Gradientenfeldes, konservatives Kraftfeld. Nabla-Operator, Divergenz, Rotation, Laplace-Operator
7 20.10.14 pdf V2a-d
C3a-C3b
V3a-g
ZC3,ZV2-3
V2
C3
V3
Skalarfelder: V2: Felder; C3: partielle Ableitungen, Satz von Schwarz; V3: Skalarfeld, Höhenlinien, totales Differential; Gradient; Nabla-Operator
6 16.10.14 pdf L4a-L4m
ZL4
L4 Vektorprodukt: Levi-Civita-Symbol, Kontraktions-Identität, allgemeine Eigenschaften des Vektorprodukts, Grassmann-Identität, Spatprodukt.
5 15.10.14 pdf V1a-V1n
ZV1
V1 [V = Vektoranalysis] Raumkurven: vektorwertige Funktionen, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Bogenlänge, natürliche Parametrisierung. Linienintegral: Definition, Beispiel [Arbeit entlang eines Weges r(t)].
4 13.10.14 pdf L3.1a-g
L3.2a-f
L3.3a-c
ZL3a-b
L3 Euklidischer Raum: Skalarprodukt; Norm, Winkel zwischen Vektoren, Orthogonalität, Orthonormalität, Gram-Schmidt-Verfahren; reelles Inneres Produkt, Metrik; komplexes inneres Produkt
3 09.10.14 pdf L2.1a-c, L2.2a
L2.3a-b, L2.4a-f
L2.5a-j, L2.6a-c
ZL2a-c
L2 Vektorraum: geometrische Anschauung, R^n, formale Definition, Beipiele: Pfeile, R^n, Funktionenraum; Span, lineare Unabhängigkeit, Vollständigkeit, Basis, Dimension, Einsteinsche Summenkonvention, Standardbasis in Rn, Isomorphismus zwischen n-dimensionalem V und R^n
2 08.10.14 pdf C1a-f
C2a-i
ZC1-2
C1
C2
[C = Calculus = Diff. & Int.-Rechung] Differenzieren: geometrische Interpretation, formale Definition, Rechenregeln, Beispiele
Integrieren: geometrische Interpretation, formale Definition, Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung Rechenregeln, partielle Integration, Substitution, Beispiele
Sehr empfehlenswert zur Auffrischung ihres Schulwissens: das schöne Skript zu einem mathematischen Vorkurs von Andreas Schadschneider, Uni-Köln. Die Folien, die ich selbst zu diesem Thema beim Mathematischen Vorkurs (Vorlesungen 3 und 4) an der LMU (30.09-08.10.2013) geschrieben habe, finden Sie hier, und die entsprechenden Videos hier.
1 06.10.14 pdf L1a-l
ZL1
L1 [L = Lineare Algebra] Mathematische Grundbegriffe: Menge, Abbildung, Gruppe, Körper, komplexe Zahlen
1 06.10.14 pdf Eugene Wigner (lesenswerter Aufsatz): The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences