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R: Rechenmethoden (WiSe 2012/2013) – Skript
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| Nr. | Datum | Vor | Skript (Seite) |
Text (Abschnitt) | Thema | |
| 1 | 16.10.12 | L1a-L1l | L1 | L = Lineare Algebra: Mathematische Grundbegriffe: Menge, Abbildung, Gruppe, Körper, komplexe Zahlen | ||
| 1 | 16.10.12 | Eugene Wigner (lesenswerter Aufsatz): The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences | ||||
| 2 | 17.10.12 | L2.1a-L2.2d | L2.1-L2.2 | Vektorraum: geometrische Anschauung, formale Definition, Beipiele: R^n, Funktionenraum | ||
| L2.3a-L2.4a | L2.3-L2.4 | Vektorraum: Span, lineare Unabhängigkeit, Vollständigkeit, Basis, Dimension, Einsteinsche Summenkonvention, Basistransformation, Standardbasis in Rn, Isomorphismus zwischen n-dimensionalem V und R^n | ||||
| 3 | 18.10.12 | L3.1a-L3.3c | L3 | Euklidischer Raum: Skalarprodukt, Norm, Winkel zwischen Vektoren, Orthogonalität, Orthonormalität, Gram-Schmidt-Verfahren | ||
| 4 | 23.10.2012 | L4a-L4m | L4 | Vektorprodukt: Levi-Civita-Symbol, Kontraktions-Identität, allgemeine Eigenschaften des Vektorprodukts, Grassmann-Identität, Spatprodukt | ||
| ZL1a-ZL4 | L1-L4 | Zusammenfassung: Mathematische Grundbegriffe, Vektorräume, Euklidische Räume, Vektorprodukt | ||||
| 5 | 24.10.12 (Mi!!) |
C1a-C2i | C1-C2 | C = Calculus = Diff. & Int.-Rechung: Differenzieren: geometrische Interpretation, formale Definition, Rechenregeln, Beispiele; Integrieren: geometrische Interpretation, formale Definition, Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung Rechenregeln, partielle Integration, Substitution, Beispiele | ||
| Sehr empfehlenswert zur Auffrischung ihres Schulwissens: das schöne Skript zu einem mathematischen Vorkurs von Andreas Schadschneider, Uni-Köln. Die Folien, die ich selbst zu diesem Thema beim Mathematischen Vorkurs (Vorlesungen 3 und 4) an der LMU (1-9.10.2012) geschrieben habe, finden Sie hier. | ||||||
| 6 | 25.10.12 | V1a-V1n | V1 | Raumkurven: vektorwertige Funktionen, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Bogenlänge, natürliche Parametrisierung. Linienintegral: Definition, Beispiel [Arbeit entlang eines Weges r(t)] | ||
| 30.10.12 | Vorlesungsumfrage: Wie war der Start? (abgeschlossen) | |||||
| 7 | 30.10.12 | V2a-V4d C3a-C3b |
C3, V2-V4 | Skalarfelder: V2: Felder; C3: partielle Ableitungen, Satz von Schwarz; V3: Skalarfeld, Höhenlinien, totales Differential, Nabla-Operator; Gradient, Vektorfelder: Gradientenfeld | ||
| ZC1-ZC3 | C1-C3 | Zusammenfassung: Ableitungen, Integrale, Partielle Ableitungen | ||||
| ZV1-ZV4 | V1-V4 | Zusammenfassung: Kurven, Skalarfeld, totales Differential, Gradient, Gradientenfeld | ||||
| 8 | 06.11.12 | C3c-C3e V4e-V4g |
C3 V4 |
Kettenregel für partielle Ableitungen; Gradientenfeld: Wegunabhängigkeit für Linienintegral eines Gradientenfeldes, konservatives Kraftfeld |
||
| V5a-V5g | V5 | Krummlinige Koordinaten: Polarkoordinaten in der Ebene, Koordinatenlinien, lokale Basis | ||||
| 9 | 08.11.12 | V5h-V5m | V5 | Krummlinige Koordinaten: Kurvengeschwindigkeit und Beschleunigung; Linienintegral in Polarkoordinaten; Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten | ||
| ZV5a-b | V5 | Zusammenfassung: Krummlinige Koordinaten | ||||
| C4a-C4g | C4.1-2 | Mehrdimensionale Integration: Satz von Fubini, variable Integrationsgrenzen, Anwendung: Kreisfläche, Trägheitsmoment von homogenem Quader | ||||
| 10 | 13.11.12 | C4h-C4q | C4.3-5 | Integration mit krummlinigen Koordinaten: 2D Flächenintegral mit Polarkoordinaten, Kreisfläche; 3D Volumenintegral; Volumen, Trägheitsmoment von Zylinder und Kugel; allgemeine Koordinatentransformationen in 2D, 3D, nD; Jakobi-Determinante, Funktionaldeterminante | ||
| ZC4a-b | C4 | Zusammenfassung: Mehrdimensionale Integration | ||||
| 11 | 15.11.12 | L5a-L5r | L5.1 | Matrizen I: Lineare Abbildungen und Matrizen, Matrixmultiplikation | ||
| 12 | 20.11.12 | L5s-L5jj | L5.2-3 | Matrizen II: Inverse einer Matrix, Lösung v. linearem Gleichungsystem mit Gauss-Algorithmus, Basistransformation: wie transformieren Vektoren und linearen Abbildungen | ||
| ZL5a-d | L5 | Zusammenfassung: Matrizen I+II: Lineare Abbildung, Matrix, Matrixmultiplikation, Inverse, Basistransformation | ||||
| 13 | 22.11.12 | L6a-p | L6 | Matrizen III: Determinanten - Definition, Eigenschaften. | ||
| 14 | 27.11.12 | ZL6a-b | L6 | Zusammenfassung: Matrizen III: Determinanten | ||
| L5.4a-j | L5.4 | Matrizen IV: Orthogonale und unitäre Matrizen - reelles und komplexes Skalarprodukt, Invarianz der Skalarprodukte, Definition v. orthogonal und unitär, Eigenschaften, Gruppen: U(n), SU(n), O(n), SO(n) | ||||
| 15 | 29.11.12 | ZL5.4 | L5.4 | Zusammenfassung: Matrizen IV: Orthogonal und unitäre Matrizen | ||
| L7a-o | L7.1-2 | Matrizen V: Eigenwerte, Eigenvektoren, charakteristisches Polynom, Diagonalisierung einer Matrix | ||||
| L7p-w | L7.3 | Matrizen VI: Diagonalisierung v. hermiteschen und symmetrischen Matrizen; Eigenwerte reell, nicht-entartete Eigenvektoren orthogonal, Ähnlichkeitstransformation ist unitär bzw. orthogonal | ||||
| ZL7a-b | L7 | Zusammenfassung: Diagonalisierung, Eigenwerte, Eigenvektoren, insb. für hermitesche und orthogonale Matrizen | ||||
| 16 | 04.12.12 | Optionaler Stoff (von T0-2011): Matrizen VII: Anwendungen von Diagonalisierung: Hauptachsentransformation, verallgemeinertes Eigenwertproblem, simultan diagonalisierbare Matrizen; Starrer Körper: Drehimpuls, rotationskinetische Energie, Trägheitstensor, Trägheitsmomente | ||||
| 16 | 04.12.12 | C5.1a-r | C5.1 | Taylorreihen: Satz von Taylor, 1/(1-x), ln(1+x), Exp(x), Sin(x), Cos(x), Euler-deMoivre-Identität, Euler-Identität; Satz von Taylor für Funktion von n Variablen, Anwendung: Potential und elektrisches Feld eines Punktdipols | ||
| ZC5.1 | C5 | Zusammenfassung: Taylorreihen, Euler-Identität, Polardarstellung komplexer Zahlen | ||||
| 17 | 06.12.12 | C5.2a-h C5.3a-h |
C5.2 C5.3 |
Stöhrungstheorie: (kommt noch nicht im Altland-Delft-Text vor) Asymptotische Entwicklungen, Landau O-Symbol, Verkettung von Reihen, Berechnung einer Umkehrfunktion, Stabilitätsanalyse einer Potentialfunktion, Iteratives Lösen von Gleichungen; Extrema unter Nebenbedingungen, Anwendungen: Volumenoptimierung eines Zylinders, Entropiemaximierung bei fester Energie, Boltzmann-Faktor | ||
| 18 | 11.12.12 | C6.2a-h C6.2a-j |
C6.2 C6.1 |
Fourier-Analysis I: Dirac delta-Funktion: Definition, Eigenschaften; Fourier-Reihen: Definition, Eigenschaften d. Fourier-Moden; Beispiel: Sägezahn; Konsistenz-Check; Reihendarstellung der delta-Funktion | ||
| 19 | 13.12.12 | ZC6.1 | C6.1-2 | Zusammenfassung: delta-Funktion, Fourier-Reihen | ||
| C6.1k-w | C6.1 | Fourier-Analysis II: Parseval-Identität; Fourier-Entwicklung periodischer Funktionen; periodischer Kamm v. scharfen Peaks; Fourier-Gegensätzlichkeit, Faltungstheorem, Fourier-Reihe einer Ableitung, Cosinus- und Sinus-Reihen; Fourier-Konventionen für Transformation Zeit <-> Frequenz (einige Teile dieses Stoffes kommen noch nicht im Altland-Delft-Text vor) | ||||
| 20 | 18.12.12 | C6.3a-l | C6.3 | Fourier-Analysis III: Multi-dimensionale Fourier-Reihen; Fourier-Transformation (L = unendlich); Beispiele: Exponential - Lorenz, Gauß - Gauß; Parseval, Plancherel, Faltungstheorem, Ableitungen | ||
| ZC6.3a-b | C6.3 | Zusammenfassung: Fourier-Transformation | ||||
| 21 | 20.12.12 | C6.3m-y | C6.3 | Fourier-Analysis IV: Anwendungen: Frequenzkamm von Prof. Hänsch (LMU) [Nobelpreis 2005]; Radon-Transformation bei Röntgen-Tomographie | ||
| C6.4a-c | C6.4 | Fourier-Analysis V: Konzeptionelle Grundlage - Fourier-Transformation als Basis im Funktionenraum | ||||
| 04.01.13 | Anmeldung zur Probeklausur und zweite Umfrage (freiwillig, anonym!): Bitte beantworten Sie mindestens die erste Frage, um eine zuverlässige Abschätzung der Anzahl Teilnehmer an der Probeklausur zu gewährleisten! | |||||
| 22 | 8.01.13 | C7 | C7 | C7: Differentialgleichungen: Für Kapitel C7 sind die Stoffgliederungen vom Skript und dem Altland-Delft-Text leider noch nicht aufeinander abgestimmt. | ||
| C7a-o | C7 | Gewöhnliche Differentialgleichungen I: Definition; Beispiele; autonome und separable DGL in einer Dimension, Trennung der Variablen; autonome DGL in zwei Dimensionen, Energie-Erhaltung via Newton 2, Berechnung von Feldlinien | ||||
| ZC7-I.3a-b | C7 | Zusammenfassung: Differentialgleichungen I: Nomenklatur, 1D separable DG, 2D autonome DG und Bahnkurve | ||||
| 23 | 10.01.13 | C7.4a-q | C7 | Differentialgleichungen II: Lineare DGL, Superpositionsprinzip, homogene Lösung, partikuläre Lösung, Variation der Konstanten, lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, Exponentialansatz, charakteristische Gleichungen, Eigenwertproblem | ||
| ZC7-II.3a-b | C7 | Zusammenfassung: Differentialgleichungen II: Lineare DG - homogene und partikuläre Lösung; für konstante Koeffizienten: Exponentialansatz | ||||
| 24 | 15.01.13 | C7.5a-p | C7 | Differentialgleichungen III: Anwendung: gedämpfter Harmonischer Oszillator, insbesondere unterdämpfter Fall, auch mit Antrieb; zwei Lösungstrategien: (1) Exponentialansatz, (2) Fourier-Transformation; Green'sche Funktion | ||
| ZC7-IIIa | C7 | Zusammenfassung: Differentialgleichungen III: Lineare DG mit konstanten Koeffizienten: Fourier-Ansatz, Green'sche Funktion | ||||
| C7.6a-g | C7 | Differentialgleichungen IV: Qualitatives Verhalten von Lösungen, Fixpunkte | ||||
| 25 | 17.01.13 | C4.6a-j C4.7a-c |
C4.6 V4.2 |
Oberflächen- und Flussintegrale: Motivation, Parametrisierung von Flächen; gerichtetes Flächenelement; Flächenintegral; Beispiele: Kugel, Gebirge, Rotationsfläche; Fluss durch Fläche = Flussintegral; Beispiele: E-Fluss von Punktladung durch Kugeloberfläche; B-Fluss durch Zylinder | ||
| ZC4.6-7 | C4.6 V4.2 |
Zusammenfassung: Oberflächen- und Flussintegrale | ||||
| 26 | 22.01.13 | V4.2a-t | V4.2 | (Im Seitenbereich V4.2i-t sind am 24.01.13 noch einige neue Seiten hinzugekommen; gegebenfalls bitte nochmal ausdrucken.) Divergenz:, geometrische Deutung als Ausfluss pro Volumenelement; Satz von Gauss. Beispiele: Volumenberechnung durch Flussintegral; Kontinuitätsgleichung; Gauss-Gesetz; quellfreie Felder haben Fluss 0, Magnetfeldfluss durch Pyramide; Gradient und Divergenz in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen. | ||
| ZV4.2 | V4.2 | Zusammenfassung: Divergenz, Satz von Gauß | ||||
| 27 | 24.01.13 | V4.3a-m | V4.3 | Rotation: geometrische Deutung als Zirkulation pro gerichtetem Flächenelement; Satz v. Stokes, Rotation in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen; Beispiel: Magnetfeld eines unendlich langen Leiters, ausserhalb und innerhalb, Flussberechnung durch verschiedene Oberflächen. | ||
| ZV4.3a | V4.2-3 | Zusammenfassung: Nabla-Operator, Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace-Operator | ||||
| ZV4.3b | V4.3 | Zusammenfassung: Rotation, Satz von Stokes | ||||
| 28 | 29.01.13 | C8.1a-h C8.2a-i |
C8.1 C8.2 |
Komplexe Analysis I: (kommt noch nicht im Altland-Delft-Text vor) komplexe Differenzierbarkeit, Def: analytische Funktion; Cauchy-Riemann-Gleichungen; komplexe Funktion definiert konforme Abbildung; komplexes Wegintegral; Beispiel: Kreisintegral von z^n; Wegunabhängigkeit; Satz von Cauchy | ||
| ZC8.1-2 | C8.1-2 | Zusammenfassung: Komplexe Analysis I: Cauchy-Riemann-Gleichungen, komplexes Wegintegral, dessen Wegunabhängigkeit | ||||
| 29 | 31.01.13 | C8.2j-m C8.3a-h |
C8.2 C8.3 |
Komplexe Analysis II: (kommt noch nicht im Altland-Delft-Text vor) Wegvervormung; Cauchy's Integralformel; Taylor-Reihen, Laurent-Reihen; Residuensatz, Residuum-Formel, Beispiele: Gewicht einer Lorentz-Kurve, Fourier-Transformation einer Lorentz-Kurve. | ||
| ZC8.3a-b | C8.2-3 | Zusammenfassung: Komplexe Analysis II: komplexe Taylor-Reihe, Laurent-Reihe, Pol d. Ordnung p, Residuensatz, Residuenformel, Kontur in oberer/unterer Halbebene schließen. | ||||
| 30 | 5.02.13 | C7.5Bsp.a-p | C7.5 C8.3 |
Beispiel: Überdämpfter harmonischer Oszillator mit periodischem Antrieb -- illustriert lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, homogene & partikuläre Lösungen; Fourier-Integrale; Greensche Funktionen; delta-Funktion; komplexe Wegintegration | ||
| 31 | 7.02.13 | Bsp1a-5e | Beispiele: Fourier-Reihe; Iteratives Lösen einer Gleichung mittels Reihenentwicklung; Lineare inhomogene Differentialgleichung, Variation der Konstanten zur Bestimmung der partikulären Lösung; Satz v. Stokes: Fluss eines Magnetfelds durch verschiedene Flächen (illustriert Linien- und Flächenintegrale mit krummlinigen Koordinaten) |